Classificação dos triângulos

Os triângulos podem ser classificados pelos lados ou ângulos.

Em relação aos lados, o triangulo pode ser classificado por equilátero, isósceles e escaleno.

Equilátero – quando os lados têm a mesma medida

Isósceles – quando dois lados têm a mesma medida

Escaleno – quando nenhum lado tem a mesma medida

Já em relação ao ângulo, temos o acutângulo, retângulo, obtusângulo.

Acutângulo – quando os ângulos internos são agudos, ou seja, tem menos de 90°

Retângulo – quando um dos três ângulos internos é reto, ou seja, um ângulo interno mede 90°

Obtusângulo – quando um ângulo interno é obtuso, ou seja, mede mais que 90°

Thales Castro

Triangulo

O triângulo é uma figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos. A soma desses ângulos internos sempre ira dar 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse caso, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares, por três segmentos de reta.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a região externa de região côncava.

Thales Castro

Referências:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo

Nomenclatura dos polígonos

A seguir uma tabela com os nomes dos polígonos que mais usamos:

Numero de lados no polígono	Nome do polígono
3 lados	Triângulo
4 lados	Quadrilátero
5 lados	Pentágono
6 lados	Hexágono
7 lados	Heptágono
8 lados	Octógono
9 lados	Eneágono
10 lados	Decágono

Thales Castro

Ângulos especiais

Existem alguns ângulos que damos nomes a eles por serem especiais. Esses são o ângulo de meia-volta, ângulo nulo, ângulo de uma volta, ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso.

O ângulo de meia-volta, também chamado de ângulo raso, como o nome já diz, da meia-volta no transferidor, ou seja, mede 180° (metade de 360°)

O ângulo nulo é um ângulo que duas semirretas se coincidem e mede 0°.

Já o ângulo de uma volta, como o ângulo nulo, é um ângulo que duas semirretas se coincidem, porém, diferente do ângulo nulo, o ângulo de uma volta dá uma volta inteira no transferidor e mede 360°.

Um ângulo é denominado reto quando mede 90°, ou seja, a metade do ângulo de meia-volta.

Um ângulo é agudo quando sua medida é menor que a medida de um ângulo reto e maior que um ângulo nulo (0° < med (BÂC) < 90°)

Já o ângulo obtuso é todo ângulo que a sua medida é maior que a medida de um ângulo reto e menor que a medida de um ângulo de meia-volta (90° < med (BÂC) < 180°).

Thales Castro

Geometria

A geometria é um assunto que faz parte da matemática cujo objeto de estudo é o espaço e as figuras que podem ocupá-lo. A partir da experiência, as pessoas caracterizam o espaço por certas qualidades fundamentais, que são denominadas axiomas de geometria. Esses axiomas não são provados, mas podem ser usados em conjunto com os conceitos matemáticos de ponto, linha reta, linha curva, superfície e sólido para chegar a conclusões lógicas, chamadas de teoremas.

A influência da geometria nas ciências físicas foi muito grande como, por exemplo, quando o astrônomo Kepler mostrou que as relações entre as velocidades máximas e mínimas dos planetas, propriedades intrínsecas das órbitas, estavam em razões que eram harmônicas, também afirmou que essa era uma música que só podia ser percebida com os ouvidos da alma — a mente do geômetra.

Com a introdução do plano cartesiano, muitos problemas de outras áreas da matemática puderam ser transformados em problemas de geometria, que varias vezes levaram a facilitação das soluções. Um exemplo dessas áreas foi a álgebra.

A palavra geometria tem origem grega, geo significa terra e metria medida, ou seja medida da terra.

Thales Castro

Referências:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria

Sistema de equação fracionaria

Um sistema de equação fracionaria é um sistema no qual pelo menos uma das equações do sistema apresenta uma das incógnitas no denominador. Observe o exemplo abaixo:

Thales Castro

Referências:

http://www.matematicamuitofacil.com/sistemasprimeirograu02.html

Resolvendo um sistema de duas equações do 1º grau com 2 incógnitas

Existem diferentes métodos para resolver um sistema de duas equações de 1º grau com duas incógnitas. E um deles é chamado de método da substituição que é muito usado.

O método da substituição consiste em escolher uma das duas equações e isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação. Sabendo disso, vamos resolver o seguinte sistema:

x+y=20

3x+4y=72

Nesse caso, pegaremos a primeira equação e iremos isolar a incógnita x.

x+y=20

x=20-y

Agora nós substituímos o x da segunda equação por 20-y já que x=20-y.

3x+4y=72

3(20-y)+4y=72 (substituímos o x por 20-y)

60-3y+4y=72 (fazemos os cálculos necessários)

-3y+4y=72-60 (isolamos a incógnita)

y=12 (efetuamos novamente os cálculos necessários e descobrimos o valor de y)

Apesar de termos descoberto o valor de y, ainda precisamos encontrar o valor de x. Mas, como já sabemos o valor de y fica mais fácil agora, é só substituir y por 12, já que y=12

x=20-y

x=20-12

x=8

Com isso, podemos afirmar que o par ordenado para esse sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas é (8,12).

Thales Castro

Referências:

http://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/sistema-equacao.htm

Equação de 1º grau com duas incógnitas

Toda equação de 1º grau com duas incógnitas, x e y, por exemplo, tem infinitas soluções, cada uma delas indicada por um par ordenado de números: o primeiro representa sempre o valor de x; o segundo representa sempre o valor de y. Essa ordem precisa ser respeitada, por isso o nome par ordenado. Indica-se: (x,y)

São equações de 1º grau com duas incógnitas, por exemplo, as seguintes expressões:

x+y=10; 3x+2y=34; 7x-5y=11

Se pegarmos, por exemplo, a expressão x+y=10 podemos perceber que ela pode ter diversas soluções, por exemplo:

(9,1), pois 9+1=10

(7,3), pois 7+3=10

Também existem vários par ordenado para a expressão 3x+2y=34:

(10,2), pois 3(10)+2(2)=34

30+4=34

34=34

(6,8), pois 3(6)+2(8)=34

18+16=34

34=34

Thales Castro

Juros composto

Já vimos como é juros simples, mas no caso do juro composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro. Por exemplo:

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?

A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.

No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)^t, onde M: montante, C: capital, i: taxa de juro e t: tempo de aplicação

Thales Castro

Referências:

http://www.brasilescola.com/matematica/juros-compostos.htm

Juros simples

Ao comprarmos alguma coisa, tem alguns produtos que vem com juros.

Toda compensação em dinheiro que se paga ou que se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de juros. Por exemplo:

Uma mulher vai a um banco e faz um empréstimo de 12000 reais por três meses. É estabelecida uma taxa de juro de 2,7% por mês. Qual a quantia que ela deve pagar de juro e qual o total que ela terá de pagar no fim do empréstimo?

Calculo: (2,7% de 12000).3

0,027.12000.3 = 972

Ao todo, ela devera pagar ao banco a quantia de: 12000+972=12972

Então a resposta é que ela deve pagar 972 de juro e pagara, no total, 12972 reais.

Thales Castro

Porcentagem

A expressão por cento é muito usada em nosso cotidiano quando, por exemplo, vemos uma liquidação em uma loja e no vidro tem escrito “promoção de 10%”, ”20% de desconto” e outras coisas do tipo.

O símbolo “%” se chama por cento, ou seja, 10% significa 10 por cento.

Da para escrever a porcentagem de varias formas, por exemplo:

50% (representação em por cento; lê-se cinquenta por cento) = 50/100 (razão centesimal) = 0,50 (forma decimal).

Vamos agora resolver algumas cálculos.

Escreva a expressão 12/25 em por centos:

12/25 = 48/100 = 48%

Como o denominador terá sempre que ser 100, multiplicamos, no caso do 25, por 4, pois 25.4=100 e como multiplicamos o denominador por 4 também teremos que multiplicar o numerador por 4, ou seja, 12.4=48, por isso 48/100 e 48%.

Descubra quanto é 35% de 200

35% de 200 = 35/100 . 200 = 35.200/100 = 7000/100 = 70, 35% de 200 = 70

Para descobrirmos o numero multiplicamos, nesse caso, o 35 pelo numero total que, nesse caso, é 200 e depois dividirmos por 100, ou seja, 35.200 = 7000:100 = 70

Thales Castro

Resolvendo equação fracionária de 1º grau com uma incógnita

Uma equação se diz fracionária quando tem pelo menos uma incógnita em seu denominador, sempre fora do radical.

Irei dar alguns exemplos de equações fracionárias e explicando como resolve-las.

23/4+1/x=35/6

69x+12/12x=70x/12x (tiramos o M.M.C.)

69x+12=70x (tiramos os denominadores)

69x=70x-12 (efetuamos o principio aditivo adicionando -12 nos dois termos)

69x-70x =-12 (efetuamos o principio aditivo adicionando -70x nos dois termos)

-x=-12 (resolvemos os cálculos)

X=12 (efetuamos o principio multiplicativo multiplicando -1 aos dois termos)

Thales Castro

Resolvendo equações de 1º grau com uma incógnita

Irei dar exemplos de como se resolve uma equação de 1º grau com uma incógnita e explicarei o que estiver fazendo em cada parte do calculo:

7x=3+6x

7x-6x=3+6x-6x (usamos o principio aditivo adicionando -6x aos dois membros)

X=3

Agora darei um exemplo mais complicado para ser resolver e seria mais direito com o uso dos princípios:

5(x+2)-3(x+6)=40

5x+10-3x-18=40 (eliminamos os parênteses)

2x-8=40 (resolvemos as adições e subtrações que podem ser feitas)

2x=40+8 (usamos o principio aditivo adicionando 8 aos dois membros)

2x=48 (efetuamos a adição)

X=48/2 (usamos o principio multiplicativo multiplicando 1/2 aos dois membros)

X=24 (resolvemos o calculo e descobrimos quem é o X)

Thales Castro

Multiplicação e divisão de frações algébricas

Primeiro vamos nos lembrar de como de faz a multiplicação e a divisão de uma fração numérica.

3/7.2/5

3.2/7.5 (multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si)

6/35 (resolvemos o calculo)

Para multiplicar frações numéricas, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si.

2/5:3/7

2/5.7/3 (invertemos a segunda fração e trocamos o sinal de divisão pelo da multiplicação)

2.7/5.3 (multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si)

14/15 (resolvemos o calculo)

Para dividir uma fração numérica por outra fração não nula, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda, ou seja, invertemos a segunda fração e trocamos o sinal de divisão pelo da multiplicação.

Agora vamos ver como fazemos a multiplicação e a divisão de frações algébricas.

5a/3b².4b³/5a²

5.a.4.b³/3.b².5.a² (multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si e aplicamos a técnica de cancelamento)

4b/3a

2y/a:5y/2a

2y/x.2a/5y (invertemos a segunda fração e trocamos o sinal de divisão pelo da multiplicação)

2.y.2.a/x.5.y (multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si e aplicamos a técnica de cancelamento)

4/5x (resolvemos o calculo)

Thales Castro

Adição e subtração de fração algébrica

Vamos lembrar como se faz uma fração numérica. Primeiro de adição e depois uma de subtração.

4/5 + 2/15

12/15 + 2/15 (tiramos o M.M.C.)

12+2/15 (formamos uma única fração)

14/15 (resolvemos a conta)

4\6 – 7\12

8/12 – 7/12 (tiramos M.M.C.)

8-7/12 (formamos uma única fração)

1/12 (resolvemos a conta)

Agora vamos ver como se faz as frações algébricas. Darei o exemplo de uma fração algébrica de adição e outra de subtração.

7/b + 5/2y

14y/2by + 5b/2by (tiramos o M.M.C.)

14y+5b/2by (formamos uma única fração que, na fração algébrica, a conta acaba quando não podemos mais fazer nada nela)

2a+1/a²-a - 5/a²

2a+1/a(a-1) -5/a² (tiramos o produto notável do denominador)

a(2a+1)/a²(a-1) -5(a-1)/a²(a-1) (tiramos o M.M.C.)

a(2a+1) - 5(a-1)/a²(a-1) (formamos uma única fração)

2a² + a – 5a + 5)/a²(a-1) (resolvemos os cálculos)

2a² – 4a + 5)/a²(a-1) (simplificamos e como não podemos mais fazer nada, a conta acabou)

Thales Castro